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cauchy

Des mathématiques pour ''un enfant du siècle'' - 2

Publié le par Perceval

Comment appréhender le ''continu'' que nous offre la nature; jusqu'à en voir l'unité...? S'agit-il du même continu en mathématique ( une multiplicité d'éléments en nombre infini ) ...?

Si l’on admet que les phénomènes naturels peuvent être représentés par des nombres et par conséquent par des fonctions mathématiques, on peut édicter des règles du calcul infinitésimal et les appliquer à ces fonctions... Dans le calcul différentiel, on appelle dx une très petite variation donnée à la variable x en plus ou en moins. On peut la prendre aussi petite que l’on veut...

Augustin-Louis Cauchy vers 1840

Le calcul différentiel, n'est pas une abstraction sans objet: sans le calcul différentiel, il n'y aurait pas de satellite en orbite, pas de théorie économique et les statistiques seraient complètement différente de ce qu'elles sont. Là où se produit du changement, on trouve du calcul différentiel...

Cauchy donne une définition de la continuité (uniforme sur un intervalle) ; « La fonction f(x) restera continue par rapport à x […] si un accroissement infiniment petit de la variable produit toujours un accroissement infiniment petit de la fonction elle-même ».

 

Cauchy, fait du concept de limite un concept algébrique, permettant de donner une base rigoureuse au calcul différentiel et intégral. Il est le premier, grâce à cette approche algébrique, à faire une étude rigoureuse des conditions de convergence et de divergence des séries et à donner une définition rigoureuse de l’intégrale. Il montre comment modifier la définition des intégrales définies lorsque la fonction à intégrer devient discontinue sur l’intervalle d’intégration ou si l’intervalle d’intégration s’étend à l’infini.

Le calcul intégral se trouve apparaître comme le problème inverse du calcul des dérivées grâce au théorème fondamental reliant intégrales et primitives.

 

La dérivation des fonctions permet la détermination des tangentes. La tangente étant la position limite d’une sécante à la courbe entre deux points de plus en plus proches.

Cauchy donne une définition de l’intégrale comme limite des sommes (dites de Cauchy), qui correspondent aux rectangles situés sous la courbe et qui approchent celle-ci en limite. À l’aide de cette limite de sommes, habilement calculées de plusieurs manières (sommes arithmétiques, géométriques), il retrouve les fonctions primitives d’un certain nombre de fonctions.

Cette appréhension toute abstraite, et pourtant si proche des objets naturels; nous interroge sur la Réalité... Comment les objets virtuels développés par notre intelligence, sont en parfaite harmonie avec ce qui arrange l'univers...? La raison ( développée par notre cerveau) est-elle inscrite dans la nature?

La méthode expérimentale et scientifique établit des liens entre notre intelligence et la marche du Monde... Expérimenter, raisonner permet-il de découvrir la finalité des choses...?

evariste_galois_by_teodimperio

 

Les mathématiques vont aussi étudier la place du hasard, mis en évidence seulement si se croisent des séries causales indépendantes... Le hasard ne serait donc pas seulement le reflet de notre ignorance, et la contingence ferait partie de l’ordre naturel...?

Cournot est persuadé que la contingence fait partie de la constitution du réel. ( la contingence désigne le fait qu’une chose soit de manière non nécessaire, autrement dit que cette chose existe alors qu’elle aurait pu ne pas exister. )

Cette question interroge également l'Histoire... Une dose d’imprévisible ne fait-il pas partie du destin des individus et des nations..? L’événement si important de la Révolution Française, interroge tous ceux qui à cette époque commence à se passionner pour l'Histoire ...

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Des mathématiques pour ''un enfant du siècle'' - 1

Publié le par Perceval

Charles-Louis de Chateauneuf hésitait entre les mathématiques, la religion et l'amour des femmes ...

Pourquoi – en 1833 - un jeune homme peut-il se passionner pour les mathématiques, alors qu'il est également attiré par l’irrationnel de la religion, et l'amour des femmes … ?

 

Charles-Louis est un enfant de ce siècle. Face à la mort demain, il y a la passion aujourd'hui. Si on exalte la sensibilité, l'imaginaire ; on reste dans un paysage réaliste : la nature, le corps, la beauté.

 

Victor Hugo en 1829

« le poète ne doit avoir qu'un seul modèle, la nature ; qu'un guide, la vérité » écrit Victor Hugo, en 1828, Préface de ''Odes et Ballades''.

« Il n’y a d’ailleurs aucune incompatibilité entre l’exact et le poétique. Le nombre est dans l’art comme dans la science. » V. Hugo

 

Le professeur de Charles-Louis, au collège royal de Limoges –-M. Gouré - l'avait initié au calcul différentiel ; en lui assurant que l'un de ses ''maîtres'' qu’était le professeur Augustin Cauchy (1789-1857), s'il était initié aux "Mathématiques transcendantes"...

Ce ''calcul différentiel '' - inventé par Newton et Leibnitz à la fin du XVII ème siècle - avait su fasciner l'imagination du jeune étudiant... Ce calcul correspondait alors à l’étude des dérivées, des tangentes aux courbes et des infiniment petits...

Son professeur avait excité sa curiosité avec des paradoxes comme ceux de Zénon:

- le héros Achille qui logiquement ne peut dépasser à la course, la tortue: car il devra avant tout atteindre le point de départ de cette dernière.

Si l’espace est continu, on peut diviser chaque grandeur en deux, indéfiniment. Un point de vue atomiste considère que l'atome ( ou l'instant...) est indivisible... ces deux hypothèses restent paradoxales ...

L'erreur, ici est d'affirmer que la somme d’une infinité d’événements de plus en plus brefs tend vers l’infini, c’est-à-dire qu’Achille n’arrive jamais (temps infini) à rattraper la tortue.

 

 

   

- la flèche: à chaque instant, la flèche se trouve à une position précise. Dans cet instant, la flèche n'a pas le temps de se déplacer elle reste immobile. Aux instants suivants, elle va rester immobile pour la même raison. Si le temps est une succession d'instants et que chaque instant est un moment où le temps est arrêté, le temps ne s'écoule donc pas. La flèche est donc toujours immobile à chaque instant et ne peut pas se déplacer. Considérant le temps comme une suite d'instants successifs, le mouvement est impossible.

Qu'est-ce donc que le temps? Si le temps est une suite d'instants successifs, le mouvement est impossible. S'il n’y a pas de temps entre deux instants consécutifs, alors la flèche devrait rester immobile ...!

A suivre ...

Des mathématiques pour ''un enfant du siècle'' - 1

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