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Des mathématiques pour ''un enfant du siècle'' - 2

Publié le par Perceval

Comment appréhender le ''continu'' que nous offre la nature; jusqu'à en voir l'unité...? S'agit-il du même continu en mathématique ( une multiplicité d'éléments en nombre infini ) ...?

Si l’on admet que les phénomènes naturels peuvent être représentés par des nombres et par conséquent par des fonctions mathématiques, on peut édicter des règles du calcul infinitésimal et les appliquer à ces fonctions... Dans le calcul différentiel, on appelle dx une très petite variation donnée à la variable x en plus ou en moins. On peut la prendre aussi petite que l’on veut...

Augustin-Louis Cauchy vers 1840

Le calcul différentiel, n'est pas une abstraction sans objet: sans le calcul différentiel, il n'y aurait pas de satellite en orbite, pas de théorie économique et les statistiques seraient complètement différente de ce qu'elles sont. Là où se produit du changement, on trouve du calcul différentiel...

Cauchy donne une définition de la continuité (uniforme sur un intervalle) ; « La fonction f(x) restera continue par rapport à x […] si un accroissement infiniment petit de la variable produit toujours un accroissement infiniment petit de la fonction elle-même ».

 

Cauchy, fait du concept de limite un concept algébrique, permettant de donner une base rigoureuse au calcul différentiel et intégral. Il est le premier, grâce à cette approche algébrique, à faire une étude rigoureuse des conditions de convergence et de divergence des séries et à donner une définition rigoureuse de l’intégrale. Il montre comment modifier la définition des intégrales définies lorsque la fonction à intégrer devient discontinue sur l’intervalle d’intégration ou si l’intervalle d’intégration s’étend à l’infini.

Le calcul intégral se trouve apparaître comme le problème inverse du calcul des dérivées grâce au théorème fondamental reliant intégrales et primitives.

 

La dérivation des fonctions permet la détermination des tangentes. La tangente étant la position limite d’une sécante à la courbe entre deux points de plus en plus proches.

Cauchy donne une définition de l’intégrale comme limite des sommes (dites de Cauchy), qui correspondent aux rectangles situés sous la courbe et qui approchent celle-ci en limite. À l’aide de cette limite de sommes, habilement calculées de plusieurs manières (sommes arithmétiques, géométriques), il retrouve les fonctions primitives d’un certain nombre de fonctions.

Cette appréhension toute abstraite, et pourtant si proche des objets naturels; nous interroge sur la Réalité... Comment les objets virtuels développés par notre intelligence, sont en parfaite harmonie avec ce qui arrange l'univers...? La raison ( développée par notre cerveau) est-elle inscrite dans la nature?

La méthode expérimentale et scientifique établit des liens entre notre intelligence et la marche du Monde... Expérimenter, raisonner permet-il de découvrir la finalité des choses...?

evariste_galois_by_teodimperio

 

Les mathématiques vont aussi étudier la place du hasard, mis en évidence seulement si se croisent des séries causales indépendantes... Le hasard ne serait donc pas seulement le reflet de notre ignorance, et la contingence ferait partie de l’ordre naturel...?

Cournot est persuadé que la contingence fait partie de la constitution du réel. ( la contingence désigne le fait qu’une chose soit de manière non nécessaire, autrement dit que cette chose existe alors qu’elle aurait pu ne pas exister. )

Cette question interroge également l'Histoire... Une dose d’imprévisible ne fait-il pas partie du destin des individus et des nations..? L’événement si important de la Révolution Française, interroge tous ceux qui à cette époque commence à se passionner pour l'Histoire ...

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